Question

17．如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC； ②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有①②③④．（请填序号）

Answer 1

分析 ①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE=60°即可；
②先利用等角对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论；
③利用差可求得结论：∠AEB=∠BEC-∠AEC；
④截取DG=DC，证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换可得结论．

解答 解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；
所以①正确；
②∵CA=CB，CA=CE，
∴CB=CE，
∵∠CAD=∠AEC=15°，
∴∠ACE=180°-15°-15°=150°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=150°-90°=60°，
∴△BCE是等边三角形；
所以②正确；
③∵△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∵∠AEC=15°，
∴∠AEB=60°-15°=45°，
所以③正确；
④在DE上取一点G，使DC=DG，连接CG，
∵∠EDC=60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，
∴∠GCE=150°-60°-45°=45°，
∴∠ACD=∠GCE=45°，
∵AC=CE，
∴△ACD≌△ECG，
∴EG=AD，
∴DE=EG+DG=AD+DC，
所以④正确；
正确的结论有：①②③④；
故答案为：：①②③④．

点评 本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握．