Question

在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A(1，0)且与y轴平行，直线l₂过点B(0，2)且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数y＝(k＞0)的图象过点E与直线l₁相交于点F．

(1)若点E与点P重合，求k的值；

(2)连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；

(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若点E与点D重合，则k＝1×2＝2； 　　(2)当k＞2时，如图，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形， 　　∵PF⊥PE， 　　∴S△FPE＝PE·PF＝(－1)(k－2)＝k2－k＋1， 　　∴四边形PFGE是矩形， 　　∴S△PFE＝S△GEF， 　　∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△EGD－S△OCE＝·k－(k2－k＋1)－k＝k2－1 　　∵S△OEF＝2S△PEF， 　　∴k2－1＝2(k2－k＋1)， 　　解得k＝6或k＝2， 　　∵k＝2时，E、F重合， 　　∴k＝6， 　　∴E点坐标为：(3，2)； 　　(3)存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF， 　　①当k＜2时，如图，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H， 　　 　　 　　分析：(1)根据反比例函数中k＝xy进行解答即可； 　　(2)当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE＝k2－k＋1，根据S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△EGD－S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标； 　　(3)①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标； 　　②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，＝，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标． 　　点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．