Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形……按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为_____；第4个正方形的面积为____.

Answer 1

【答案】5；

【解析】

由点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．即可求得OA与OD的长，然后由勾股定理即可求得AD的长，继而求得第1个正方形ABCD的面积；先证得△DOA∽△ABA1，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得A1B的长，即可求得A1C的长，即可得第2个正方形A1B1C1C的面积；以此类推，可得第3个、第4个正方形的面积．

解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．

∴OA=1，OD=2，

在Rt△AOD中，AD=，

∴正方形ABCD的面积为：（）2=5；

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

∵∠DOA=∠ABA1，

∴△DOA∽△ABA1，

∴,即，

解得：A1B=，

∴A1C=A1B+BC= ，

∴正方形A1B1C1C的面积为：（）2=；

∵第1个正方形ABCD的面积为：5；

第2个正方形A1B1C1C的面积为：=

同理可得：第3个正方形A2B2C2C1的面积为：=（）2×5；

∴第4个正方形A3B3C3C2的面积为：（）3×5．

故答案为：5，（）3×5．