Question

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S_△DEF+S_△CEF=

1

2

S_△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析：先作出恰当的辅助线，再利用全等三角形的性质进行解答．

解答：解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，
则S_△DEF+S_△CEF=

1

2

S_△ABC；
（2）图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=

1

2

AC，MD=

1

2

BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
∵

∠DME=∠DNF MD=ND ∠MDE=∠NDF

，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S_△DME=S_△DNF，
∴S_{四边形DMCN}=S_{四边形DECF}=S_△DEF+S_△CEF，
由以上可知S_{四边形DMCN}=

1

2

S_△ABC，
∴S_△DEF+S_△CEF=

1

2

S_△ABC．
图3不成立，连接DC，
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+

S△ABC

2

，
∴S_△DEF-S_△CFE=

S△ABC

2

．
故S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=

1

2

S_△ABC．

点评：利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．