Question

9．当x分别取-2014、-2013、2012、…、-2、-1、0、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、…、$\frac{1}{2012}$、$\frac{1}{2013}$、$\frac{1}{2014}$时，计算分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再将所得结果相加，其和等于-1．（温馨提示：注意寻找计算的突破口）

Answer 1

分析 设a为负整数，将x=a代入得：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，将x=-$\frac{1}{a}$代入得：$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，故此可知当x互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得当x=0时，分式的值即可．

解答 解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，当x=-$\frac{1}{a}$时，分式的值=$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，
∴当x=a时与当x=-$\frac{1}{a}$时，两分式的和=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$=0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和=$\frac{{0}^{2}-1}{{0}^{2}+1}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查的是分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．