Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的最大值为12.5，且不等式ax²+bx+c＞0的解集为-2＜x＜3
（1）求a、b、c的值；
（2）求函数图象顶点的坐标．

Answer 1

（1）解：设二次函数y=ax²+bx+c=a（x-e）（x-f），
∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为-2＜x＜3，
∴y=ax²+bx+c=a（x+2）（x-3）=ax²-ax-6a，
∵二次函数y=ax²+bx+c的最大值为12.5，
∴=12.5，
解得：a=-2，
∴y=-2x²+2x+12，
∴a=-2，b=2，c=12，
答：a=-2，b=2，c=12．

（2）解：y=-2x²+2x+12=-2（x²-x+）+12+，
=-2+，
∴函数图象顶点的坐标是（，），
答：函数图象顶点的坐标是（，）．
分析：（1）设二次函数y=ax²+bx+c=a（x-e）（x-f），根据二次函数与一元二次不等式的关系得到y=ax²+bx+c=a（x+2）（x-3）=ax²-ax-6a，根据二次函数y=ax²+bx+c的最大值公式即可求出a的值，即可求出b、c的值；
（2）把二次函数y=-2x²+2x+12通过配方得出顶点式-2+，即可求出顶点坐标．
点评：本题主要考查对二次函数的三种形式，解一元一次方程，二次函数与不等式的关系，二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数与X轴的交点坐标等知识点的理解和掌握，理解二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系是解此题的关键，题型较好，难度适中．