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【题目】如图,ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.

(1)出发2秒后,求ABP的面积

(2)t为几秒时,BP平分∠ABC

(3)t为何值时,BCP为等腰三角形?

(4)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQABC的周长分成相等的两部分?

【答案】(1)18;(2)3;(3)t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形;(4)t为4或12秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分

【解析】试题分析:(1)、根据速度为每秒1cm,求出出发2秒后CP的长,然后就知AP的长,利用勾股定理求得PB的长,最后即可求得周长.(2)、因为ABCB,由勾股定理得AC="4" 因为AB5cm,所以必须使AC=CB,或CB=AB,所以必须使ACAB等于3,有两种情况,△BCP为等腰三角形.(3)、分类讨论:当P点在AC上,QAB上,则PC=tBQ=2t﹣3t+2t﹣3=6;当P点在AB上,QAC上,则AC=t﹣4AQ=2t﹣8t﹣4+2t﹣8=6

试题解析:(1)、如图1,由∠C=90°AB=5cmBC=3cm

∴AC=4,动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm

出发2秒后,则CP=2∵∠C=90°∴PB==

∴△ABP的周长为:AP+PB+AB=2+5+=7

(2)如图2,若P在边AC上时,BC=CP=3cm

此时用的时间为3s△BCP为等腰三角形;

PAB边上时,有三种情况: i)如图3,若使BP=CB=3cm,此时AP=2cmP运动的路程为2+4=6cm

所以用的时间为6s△BCP为等腰三角形;

ii)如图4,若CP=BC=3cm,过C作斜边AB的高,根据面积法求得高为2.4cm, 作CD⊥AB于点D

Rt△PCD中,PD===1.8, 所以BP=2PD=3.6cm

所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm, 则用的时间为5.4s△BCP为等腰三角形;

)如图5,若BP=CP,此时P应该为斜边AB的中点,P运动的路程为4+2.5=6.5cm

则所用的时间为6.5s△BCP为等腰三角形;

综上所述,当t3s5.4s6s6.5s时,△BCP为等腰三角形

(3)、如图6,当P点在AC上,QAB上,则PC=tBQ=2t﹣3

直线PQ△ABC的周长分成相等的两部分, ∴t+2t﹣3=3∴t=2

如图7,当P点在AB上,QAC上,则AP=t﹣4AQ=2t﹣8

直线PQ△ABC的周长分成相等的两部分, ∴t﹣4+2t﹣8=6∴t=6

t26秒时,直线PQ△ABC的周长分成相等的两部分.

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