Question

10．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x-3+b与双曲线y=$\frac{1}{x}$交于A，B两点，则线段AB长度的最小值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数的图象性质和直线y=$\frac{1}{2}$x-3+b的性质得到点A与点B关于直线y=-$\frac{1}{2}$x对称，当点A和点B为直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线的交点时，线段AB最短，然后求得交点坐标，进而根据勾股定理即可求得线段AB长度的最小值．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$x-3+b与直线y=$\frac{1}{2}$x平行，
∴点A与点B关于直线y=-$\frac{1}{2}$x对称，
∴点A和点B到直线y=-$\frac{1}{2}$x的距离最小时，线段AB最小，此时点A和点B为直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线的交点，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴A（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴AB=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$；
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．