Question

已知一元二次方程x²-5x+k=0．
（1）当k=6时，解这个方程；
（2）若方程x²-5x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）设此方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且2x₁-x₂=2，求k的值．

Answer 1

解：（1）k=6，方程变为x²-5x+6=0，即（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3；

（2）根据题意△=（-5）²-4k＞0，解得k＜；

（3）根据题意得x₁+x₂=5，x₁，•x₂=k，
而2x₁-x₂=2，
∴x₁=，
∴x₂=，
∴k=×=．
分析：（1）利用因式分解法解方程x²-5x+6=0；
（2）根据根的判别式的意义得到△=（-5）²-4k＞0，然后解不等式得到k＜；
（3）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=5，x₁，•x₂=k，而2x₁-x₂=2，易求得x₁=，x₂=，则k=×=．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．