Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，CD=CB，DE是△ADB的中线
（1）求证：四边形DEBC是菱形．
（2）若∠A=60°，DC=2cm，求梯形ABCD的周长．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，
∵E是AB的中点
∴BE=AB，DE=AB，
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD，
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴四边形BCDE 是菱形；

（2）解：∵∠A=60°，∠ADB=90°，DE是△ADB的中线
∴DE=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=DC=2cm，
∴AB=2AD=4cm，
∴梯形ABCD的周长=4+2+2+2=10cm．
分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE，再通过证明△EBD≌△CBD得到BE=BC，根据到四边相等的四边形是菱形即可证明
（2）由已知条件可证明△ADE是等边三角形，所以DE=AD=AE，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB=2AD=2DC=4cm，进而求出梯形ABCD的周长．
点评：本题重点考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半以及全等三角形的判定和性质菱形的判定和性质．