Question

19．如图，AC为⊙O的直径，D为CA延长线上一点，AB=AD=A0，点B在⊙O上，
（1）判断：BD与⊙O的位置关系？并写出证明过程；
（2）若点E是半圆AC的中点，弦BE=（2$\sqrt{3}$+2）cm．求：⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证得△ABO为等边三角形，根据三角形外角的性质可求得∠ABD=∠ADB=30°，则可求得∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）连接AE，CE，过A作AM⊥BE于M，过C作CN⊥BE于N，由已知条件得到△ABO是等边三角形，得到∠AOB=∠BAO=60°，求出∠ACB=30°，设⊙O的半径为R，解直角三角形得到AB=R，BC=$\sqrt{3}R$，根据圆周角定理得到∠ABE=∠CBE=∠CAE=∠ACE=45°，求得AE=CE=$\sqrt{2}$R，解直角三角形得到AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$R，根据S_{四边形ABCE}=$\frac{1}{2}$BE•AM+$\frac{1}{2}$BE•CN=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AE•CE列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AO，BO=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=60°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：连接AE，CE，过A作AM⊥BE于M，过C作CN⊥BE于N，
∵AB=AD=A0=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=∠BAO=60°，
∴∠ACB=30°，
设⊙O的半径为R，
∴AB=R，BC=$\sqrt{3}R$，
∵E是半圆AC的中点，
∴∠ABE=∠CBE=∠CAE=∠ACE=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$R，
∵△ABM与△BCN是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$R，
∴S_{四边形ABCE}=$\frac{1}{2}$BE•AM+$\frac{1}{2}$BE•CN=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+2）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$R+$\frac{\sqrt{2}}{2}$$•\sqrt{3}$R）=$\frac{1}{2}$R$•\sqrt{3}$R+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$R$•\sqrt{2}$R，
解得：R=2$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径长是2$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握切线的性质是解题的关键．