Question

如图，平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD交于点O，沿对角线AC对折后，E与B对应．
（1）试问：四边形ACDE是什么形状的四边形？请加以证明；
（2）若其他条件不变还应具备一个什么条件时，EO平分∠AOD成立？说明其理由；
（3）若四边形ABCD的面积S=12cm，设CE、AD交于点F，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S_△ACF．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,平行四边形的性质,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先证明AE∥CD，AE=CD，得到四边形ACDE为平行四边形；证明∠EAC=90°，即可解决问题．
（2）若OE平分∠AOD，则∠AOE=∠DOE；而∠AOB=∠AOE，故必有∠AOB=∠AOE=∠EOD=60°．
（3）运用矩形（或平行四边形）将矩形分割为面积相等的四部分，即可解决问题．

解答：解：（1）四边形ACDE是矩形；理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；而AB⊥AC，
∴∠BAC=∠DCA=90°；由题意得：
AE=AB，∠EAO=∠BAO=90°，
∴AE∥CD，AE=CD，且∠EAC=90°，
∴四边形ACDE是矩形．
（2）当∠AOB=60°时，EO平分∠AOD；理由如下：
由题意得：∠AOE=∠AOB=60°，
∴∠DOE=180°-120°=60°，
∴∠AOE=∠DOE，即EO平分∠AOD．
（3）∵平行四边形ABCD的面积S=12，
∴S△ACD=

1

2

SABCD=6；同理可知：
S△ACF=

1

2

S△ACD=3．

点评：该题主要考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定与性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质等知识点．