Question

5．已知方程（ax+1）²=a²（1-x²）（a＞1）的两个实数根x₁，x₂满足x₁＜x₂．求证：-1＜x₁＜0＜x₂＜1．

Answer 1

分析 先本方程化为一般式得到2a²x²+2ax+1-a²=0，利用两根之积可判断两根异号，则x₁＜0＜x₂，设y=2a²x²+2ax+1-a²，利用对称轴方程可判断对称轴的位置如图所示，然后分别计算出自变量为-1和1所对应的函数值即可判断-1＜x₁＜0＜x₂＜1．

解答 证明：方程化为一般式得2a²x²+2ax+1-a²=0，
∵x₁•x₂=$\frac{1-{a}^{2}}{2{a}^{2}}$，
而a＞1，
∴x₁•x₂＜0，
∵x₁＜0＜x₂，
设y=2a²x²+2ax+1-a²，
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2a}{2•{2a}^{2}}$=-$\frac{1}{2a}$，
∴-1＜-$\frac{1}{2a}$＜0，如图，
当x=-1时，y=a²-2a+1=（a-1）²＞0，
当x=1时，y=a²+2a+1=（a+1）²＞0，
∴-1＜x₁＜0＜x₂＜1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了数形结合思想的运用．