Question

16．解方程（组）：
（1）（2x+1）²=（x-1）²．
（2）$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{{x^2}+{y^2}+2x+2y=11}\end{array}}\right.$．
（3）$\frac{2x}{2-x}-1=\frac{4}{{{x^2}-4}}+\frac{3}{x-2}$．
（4）$\frac{{{x^2}+1}}{x+2}+\frac{2x+4}{{{x^2}+1}}=3$．

Answer 1

分析 （1）利用直接开平方法解方程；
（2）先利用代入法消去y得到关于x的一元二次方程x²-3x+2=0，利用因式分解法求出x，然后计算出对应的y的值即可得到方程组的解；
（3）先去分母，把方程转化为3x²+7x+2=0，利用因式分解法求出x，然后进行检验确定原方程的解；
（4）利用换元法解方程：设$\frac{{x}^{2}+1}{x+2}$=t，原方程化为t+$\frac{2}{t}$=3，解此分式方程得到t₁=1，t₂=2，然后分别解$\frac{{x}^{2}+1}{x+2}$=1和$\frac{{x}^{2}+1}{x+2}$=2，最后进行检验确定原方程的解．

解答 解：（1）2x+1=±（x-1）
解得x₁=-2，x₂=0；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3①}\\{（x+y）^{2}+2（x+y）-2xy=11②}\end{array}\right.$，
把①代入②得：9+6-2xy=11，
即2xy=4，即xy=2③，
由①得：y=-x+3，代入③得：x（-x+3）=2，
整理得：x²-3x+2=0，即（x-1）（x-2）=0，
解得x=1或x=2，
把x=1代入①得：y=2；
把x=2代入①得：y=1，
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$；
（3）去分母得：-2x（x+2）-x²+4=4+3（x+2），
去括号得：-2x²-4x-x²+4=4+3x+6，即3x²+7x+2=0，
（3x+1）（x+2）=0，
所以x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=-2，
经经验x=-$\frac{1}{3}$是原方程的解，
所以原方程的解为x=-$\frac{1}{3}$；
（4）设$\frac{{x}^{2}+1}{x+2}$=t，
则原方程化为t+$\frac{2}{t}$=3，
去分母得t²-3t+2=0，解得t₁=1，t₂=2，
当t=1时，$\frac{{x}^{2}+1}{x+2}$=1，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，
当t=2时，$\frac{{x}^{2}+1}{x+2}$=2，解得x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
经经验原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
所以原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了解分式方程．