Question

【题目】（1）问题发现

如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：

①∠ACE的度数为　 　；

②线段AC、CD、CE之间的数量关系为　 　．

（2）拓展探究

如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE（3）

【解析】试题分析：(1)、根据等边三角形的性质得出∠BAD=∠CAE，从而得出△BAD和△CAE全等，从而得出∠ACE=∠B=60°，根据全等得出BD=CE，从而得出AC=CD+CE；(2)、根据第一题同样的方法得出△BAD和△CAE全等，从而得出BC=CD+CE，然后根据等腰直角三角形的性质得出BC=AC，从而得出答案；(3)、过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，根据题意得出A、B、C、D四点共圆，即∠ADB=∠ACB=45°，根据第二步的结论AC=得出答案．

试题解析：(1)①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE=∠B=60°，

②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；

理由是：由①得：△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∵AC=BC=BD+CD， ∴AC=CD+CE；

（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：

如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∵BC=CD+BD， ∴BC=CD+CE，

∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC， ∴AC=CD+CE；

（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，

∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1， ∴BD=2，BC=， ∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADB=∠ACB=45°，

∴△ACF是等腰直角三角形， 由（2）得： AC=BC+CD， ∴AC===．