Question

【题目】如图1，二次函数的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0,1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48.

（1）求直线AB和直线BC的解析式；

（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD//x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F，当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；

（3）如图2，直线AB上有一点K（3,4），将二次函数沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线使点A，点C的对应点分别为点A’，点C’；当△A’C’K是直角三角形时，求t的值。

Answer 1

【答案】（1）=x+1；=2x-5；（2）H（5,6）；7.5；（3）t=0或t=4或t=

【解析】

试题分析：（1）首先得出点C的坐标，根据△AMO和四边形AONB的面积之比得出△AMO和△BMN的面积之比，从而得出BN=7，然后求出点B的坐标，得出直线AB和直线BC的解析式；（2）设点P（x0,x0+1），则D（，x0+1），PE=x0+1，PD=3-0.5x0，根据△PDF∽△BGN得出PE·PF最大时，PE·PD也最大，然后得出PE·PD的函数解析式，根据函数的性质得出点G的坐标，根据△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，则BH=B1H，从而得出答案；（3）令直线BC与x轴交于点I，则I（2.5,0）于是IN=3.5，IN：BN=1:2，则沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A’（m,1+2m）,C’（2+m,-1+2m），然后根据当∠A’KC’=90°，当∠KC’A’=90°和当∠KA’C’=90°三种情况，分别利用勾股定理得出答案.

试题解析：（1）C（2，-1）. 由S△AMO：S四边形AONB=1：48，可得由S△AMO：S△BMN=1：49，

所有BN=7，带入二次函数解析式可得B（6,7）。 所以=x+1；=2x-5.

（2）设点P（x0,x0+1），则D（，x0+1），则PE=x0+1，PD=3-0.5x0，

由于△PDF∽△BGN，所以PF:PD的值固定，于是PE·PF最大时，PE·PD也最大，

PE·PD=（x0+1）（3-0.5x0）=，所以当x0=2.5时，PE·PD最大，即PE·PF最大。

此时G（5,3.5）

可得△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，则BH=B1H，

GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，

所以当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H（5,6），最小值为7-3.5=3.5

（3）令直线BC与x轴交于点I，则I（2.5,0）于是IN=3.5，IN：BN=1:2，

所以沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A’（m,1+2m）,C’（2+m,-1+2m），

则A’C’2=8,A’K2=5m2-18m+18,C’K2=5m2-22m+26，

①、当∠A’KC’=90°时，A’K2+KC’2=A’C’2，解得m=，此时t=;

②、当∠KC’A’=90°时，KC’2+A’C’2=A’K2，解得m=4,此时t=;

③、当∠KA’C’=90°时，A’C’2+A’K2=KC’2，解得m=0,此时t=0

综上所述：t=0或t=4或t=