Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

Answer 1

（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．
由已知得，AM=x，AN=20-x．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，
∴∠D=∠C=30°．
∴∠PAN=∠D=30°．
在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=

1

2

（20-x）．
即点N到AB的距离为

1

2

(20-x)．

（2）根据（1）S_△AMN=

1

2

AM•NP=

1

4

x（20-x）=-

1

4

x2+5x．
∵-

1

4

＜0，
∴当x=10时，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五边形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形为定值，
∴当x=10时，五边形BCDNM面积最小．此时，ND=AM=10，AN=AD-ND=10，
∴AM=AN．
∴当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．