【答案】
分析:(1)本题可利用两圆外切的条件进行求解,过P作两圆的公切线,交BD于M.由于MP,MB同为⊙O
1的切线,不难得出∠MBP=∠MPB,而∠MPB=∠NPA,根据弦切角定理又可得出∠NPA=∠ADP,将相等的角进行置换后即可得出所求的结论;
(2)所求的线段中,BC•BD=BP•AB,将BC•BD移到等号右边可得出AB
2-BC•DB=AB
2-BP•AB=AB(AB-BP)=AB•AP,因此只需证明AD
2=AB•PA即可,即证明△ADP和△ABD相似.这两个三角形中已知了一个公共角和(1)得出的一组相等角因此两三角形相似,由此得证;
(3)根据两圆的面积比可知两圆的半径比为3:1,要想利用这个条件需要构建相似三角形.连接O
1O
2,O
1B,O
2A,不难得出△AO
2P∽△BO
1P,因此BP与AP的比例关系正好等于两圆的半径比,在根据(2)中证得的AD
2=AP•AB即可求出BP的长.
解答:(1)证明:过D点作两圆的公切线PN交BD于M
∴∠CBD=∠MPB=∠APN
又∵MN为⊙O
2的切线
∴∠ADP=∠APN
∴∠CBD=∠ADP;
(2)证明:连接PC
由切割定理得BC•BD=BP•AB
由(1)可知∠CBD=∠ADP
又∵∠A公共
∴△ADP∽△ABD
∴
∴AD
2=AB•AP=AB•(AB-BP)=AB
2-AB•BP
∴AD
2=AB
2-BC•BD
即AD
2+BC•BD=AB
2;
(3)解:设⊙O
2的半径为R,⊙O
1的半径为r
∴
=
∴R:r=3:1
连接AO
2,BO
1,O
1O
2,则O
1O
2经过P点
∴△AO
2P∽△BO
1P
∴
设BP=x
∴AP=3x
从而AB=4x
∵AD
2=AP•AB
∴(4
)
2=3x•4x
∴x=1,即BP=1.
点评:本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、切割线定理等知识点.本题的综合性较强.