Question

（2012•德化县一模）如图，在直角坐标中，直线y=kx-3，分别与x轴，y轴交于B（3，0）、C，过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于另一点A（点A在B左边），且S_△ABC=3
（1）求k的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P在抛物线上，且∠ACP=45°，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点B代入直线，计算即可求出k值；
（2）利用直线解析式求出点C的坐标，再根据△ABC的面积求出AB的长度，然后求出OB的长，再求出OA的长，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；
（3）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，然后求出∠OCB=∠OBC=45°，BC=3

2

，延长CP交x轴于点Q，可以求出∠OCA=∠BCQ，然后求出∠BCQ的正切值，再过B点作BD⊥BC交CQ于点D，然后求出BD的长度，并判定△BQD和△CQA相似，设BQ=n，根据相似三角形对应边成比例用n表示出CQ，在Rt△OCQ中，根据勾股定理列式求出n的值，再求出OQ，从而得到点Q的坐标，然后根据待定系数法求出直线CQ解析式，在与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵直线BC经过B（3，0），
∴3k-3=0，
解得k=1；

（2）由（1）可知直线BC：y=x-3，
当x=0时，y=-3，
所以，C（0，-3），
所以，c=-3，
又∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

AB×3=3，
∴AB=2，
∴OA=3-2=1，
∴A（1，0），
由题意，得

a+b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=-1 b=4

，
所以，抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴BC=3

2

，如图，延长CP交x轴于点Q，
又∵∠ACP=45°，
∴∠OCA=∠BCQ，
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，
∴tan∠OCA=

OA

OC

=

1

3

，AC=

10

，
∴tan∠BCQ=

1

3

，
过B点作BD⊥BC交CQ于点D，则∠QBD=45°，
∴在Rt△BDC中，BD=tan∠BCQ•BC=

1

3

×3

2

=

2

，
又∵∠BQD=∠CQA，
∴△BQD∽△CQA，
∴

BQ

CQ

=

BD

AC

，
即

BQ

CQ

=

2

10

=

1

5

，
设BQ=n，则CQ=

5

n，
在Rt△OCQ中，（n+3）²+3²=（

5

n）²，
整理得，2n²-3n-9=0，
解得，n₁=-

3

2

（负值，舍去），n₂=3，
即BQ=3，
则OQ=6，
则点Q（6，0），
设直线CP的解析式为y=kx-3，
则6k-3=0，
解得k=

1

2

，
故直线CP的解析式为y=

1

2

x-3，
联立

y= 1 2 x-3 y=-x2+4x-3

，
解得

x1=0 y1=-3

（为点C坐标，舍去），

x2= 7 2 y2=- 5 4

．
所以点P（

7

2

，-

5

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（直线解析式，二次函数解析式），三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，前两问比较简单，（3）作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．