Question

8．已知∠AOB为锐角，如图（1）．
（1）若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠MON=32°，∠COD=10°，如图（2）所示，求∠AOB的度数．
（2）若OM，OD，OC，ON是∠AOB的五等分线，如图（3）所示，以射线OA，OM，OD，OC，ON，OB为始边的所有角的和为980°，求∠AOB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义容易得到，∠MON=∠CON+∠DON-∠COD，根据已知条件求得∠COM+∠DON=42°，即可求得∠AOM+∠BON=42°，从而求得∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON=74．
（2）设∠AOB被五等分的每个角为x°，则∠AOB=5x°，分别表示出以射线OA、OM、OD、OC、ON、OB为始边的所有角的度数，根据题意列出关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得∠AOB的度数．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=∠COM，
同理：∠BON=∠DON，
∵∠MON=32°，∠COD=10°，∠MON=∠CON+∠DON-∠COD，
∴32°=∠COM+∠DON-10°，
∴∠COM+∠DON=42°，
∴∠AOM+∠BON=42°，
∵∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON，
∴∠AOB=42°+32°=74°；
（2）设∠AOB被五等分的每个角为x°，则∠AOB=5x°，
以射线OA为始边的所有角的度数为x°+2x°+3x°+4x°+5x°=15x°，
以射线OM、OD、OC、ON、OB为始边的所有角的度数分别为11x°，9x°，9x°11x°，15x°，
由题意得15x+11x+9x+9x+11x+15x=980，
解得x=14．
故∠AOB=5×14°=70°．

点评 本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是找出角度关系．