练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动精英家教网，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．
    （1）若t=2时，求证：△DBA∽△PBQ；
    （2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；
    （3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）当t=2时，根据P，Q的速度，我们可得出BP=2，BQ=1那么BP：BQ=2：1，而一直了BD=2AB，因此BP，BQ与BD，BA对应相等，△BPQ与△BDA又共用了这两组对应边的夹角，因此两三角形相似；
    （2）求三角形的面积就要知道三角形的底边和高的长，根据P，Q的速度，我们可以用t表示出BP，BQ的长，如果过Q作BP边的高，那么根据BQ和∠ABD的正弦值即可得出BP边上的高是多少，然后可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式；
    （3）要按底角的不同来分类讨论：
    ①当∠QBM，∠BMQ为等腰三角形的底角时，根据AE平分∠ABD，那么这两个角就都应该是30°，此时△QBM的外角∠AQM=60°，就与∠ABD相等，显然这种情况是不成立的；
    ②当∠QBM，∠BQM为等腰三角形的底角时，由于这两个角都是30°，那么∠QPB就是个直角，那么我们可在直角△QPB中，我们可根据∠ABD的余弦函数得出BQ，BP的比例关系，然后我们可用t表示出BQ，BP即可得出t的值；
    ③当∠BQM，∠BMQ为等腰三角形的底角时，那么这两个角就都应该是75°，我们可通过构建直角三角形来求t的值，过Q作QF垂直BD于F，那么我们可将三角形BQP分成两个含特殊角的直角三角形，一个是含30°，60°角的直角三角形，一个是等腰直角三角形．那么我们可根据这些特殊角得出BQ，QF，BF，PF之间的关系，然后分别用t表示出来，根据BP=BF+PF，将等值的线段替换后即可得出t的值．
    解答：解：（1）∵t=2，
    ∴BQ=2，PB=4，
    ∴
    BQ
    BA
    =
    BP
    BD
    ，∠PBQ=∠PBQ，
    ∴△PBQ∽△DBA；
    精英家教网
    （2）过点Q作△PBQ的高h，
    则S△PBQ=
    1
    2
    PB•h=-
    		3
    2
    t2+2
    		3
    t=-
    		3
    2
    （t-2）2+2
    		3
    ，
    ∴当t=2时，Smax=2
    		3
    ；

    （3）分三种情况讨论：
    ①当∠QBM=∠BMQ=30°时，有：精英家教网
    ∠AQM=60°=∠ABD，
    ∴PQ∥BD，
    ∴与题意矛盾，不存在；
    ②当∠QBM=∠BQM=30°时，如图，则
    BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=
    16
    5
    ≤4；精英家教网
    ③当∠BQM=∠BMQ=75°时，如图，
    作QF⊥BP，则：PB=BF+PF=BF+QF=
    1
    2
    t+
    		3
    2
    t=8-2t，
    得：t=
    16
    		3
    +5
    =
    40-8
    		3
    11
    ≤4，
    ∴当t=
    16
    5
    或t=
    40-8
    		3
    11
    时，△BQM成为等腰三角形．
    点评：本题考查的知识点较多，要注意对（3）中底角不同时等腰三角形的不同来分情况的讨论．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，
    （1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
    （2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；
    （3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，若∠AOB=120°，BD=8cm，则矩形ABCD的面积为
     
    cm2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连接BE交AC于点P．
    （1）求AP的长；
    （2）若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；
    （3）已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．
    ①求动⊙A的半径r1的取值范围；
    ②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r2的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图：已知矩形ABCD中，CE∥DF．
    （1）请问图中有哪几对三角形全等，全部写出来（不另添辅助线）；
    （2）请任选其中一对全等三角形给予证明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案