Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，
理由是：∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，
理由是：分为两种情况：①∵四边形DEBF是矩形，
∴BD=EF=12cm，
即AE=CF=0.5tcm，
则16-0.5t-0.5t=12，
解得：t=4；
②当E到F位置上，F到E位置上时，AE=AF=0.5tcm，
则0.5t-12+0.5t=16，
t=28，
即当运动时间t=4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形
分析：（1）根据已知的AE=CF，推出OE=OF，根据平行四边形的性质得出OD=OB，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出EF=BD=12，得出方程16-0.5t-0.5t=12，求出即可；当E和F交换位置时得出方程0.5t-12+0.5t=16，求出即可．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好．