Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点F，E为AC的中点，连接FE．
﹙1﹚求证：FE是⊙O的切线；
﹙2﹚探究线段AC，AF，AB三者之间的数量关系；并证明．
﹙3﹚连接OE，若四边形OEFB是平行四边形，求sin∠ABE的值．

Answer 1

解：（1）证明：连接OF，FC．
∵AB是直径，
∴∠BFC=90°，
∴∠AFC=90°．
又∵E是AB的中点，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF，
∴∠OFE=∠OFC+∠EFC=∠ECF+∠FCO=∠ACB=90°．
∴OF⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）AC²=AF•AB
证明：∵直角△ABC中，CF⊥AB，
∴△ACF∽△ABC
∴=，
∴AC²=AF•AB

（3）连接CF，BE．
∵四边形OEFB是平行四边形，
∴EF∥BC，
又∵E是AC的中点，
∴AF=BF，
∵CF⊥AB
∴AC=CB
则△ABC是等腰直角三角形．
作EM⊥AB于M．则△AEM是等腰直角三角形．
设AC=2a，则BC=2a，AE=EC=a．
∴EM=AE=a，
在直角△BCE中，BE==a．
∴sin∠ABE===．
分析：（1）连接OF，FC，根据等腰三角形的性质证明∠EFO=∠ACB即可证得；
（2）AC²=AF•AB，利用直角三角形的性质可以证得：△ACF∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）连接BE，作EM⊥AB，则sin∠ABE=，易证得△ABC和△AEM都是等腰直角三角形，可以设AC=2a，则BE、ME都可以利用a，表示出来，从而求解．
点评：此题主要考查了圆的切线的判定定理，以及相似三角形的判定与性质，注意得到△ABC和△AEM都是等腰直角三角形是解决问题的关键．