Question

17．如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．
（1）用含t的式子表示点E的坐标为（t+4，8）；
（2）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，∠OCD=180°？

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标可得点A，E的纵坐标，因为AD=OB=8，可知AE=4，由点A的横坐标可知点E的横坐标为t+4，可得点E的坐标；
（2）首先由相似三角形的判定定理（AA）可得△AOB∽△CAE，由相似三角形的性质易得CE=$\frac{1}{2}t$，CF=$8-\frac{1}{2}t$，由直角三角形的面积公式可得结果；
（3）首先由题意可知，当∠OCD=180°时，O、C、D三点共线，易得△OCF∽△ODH，由相似三角形的性质可得$\frac{CF}{DH}=\frac{OF}{OH}$，由（2）中CE=$\frac{1}{2}t$，CF=$8-\frac{1}{2}t$，OF=8，OH=BD=8+t代入即可得t的值．

解答 解：（1）∵BG∥x轴，
∴点A、B、E、D的纵坐标相同为8，
∵AD=OB=8，
∴AE=4，
∵点A的横坐标为t，
∴点E的横坐标为t+4，
∴点E的坐标为（t+4，8），
故答案为：（t+4，8）；

（2）∵AC⊥OA，
∴∠BAO+∠CAE=90°，
∵∠BAO+∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠CAE，
∵∠ABO=∠CEA=90°，
∴△AOB∽△CAE，
∴$\frac{OB}{AE}=\frac{AB}{CE}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴CE=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}t$，
∴CF=$8-\frac{1}{2}t$，
∴$S=\frac{1}{2}（{t+4}）（{8-\frac{1}{2}t}）=-{t^2}+3t+16$；

（3）当∠OCD=180°时，O、C、D三点共线，
过点D作DH⊥OF于H，如图，
∵EF⊥AD，BG∥x轴，
∴EF∥DH，
△OCF∽△ODH，
∴$\frac{CF}{DH}=\frac{OF}{OH}$，
∵CE=$\frac{1}{2}t$，CF=$8-\frac{1}{2}t$，OF=8，OH=BD=8+t，
∴-12t8=t+4t+8，
${t_1}=4\sqrt{5}-4$，${t}_{2}=-4\sqrt{5}-4$（舍去），
答：当${t_1}=4\sqrt{5}-4$时，∠OCD=180°．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，根据题意用t表示出各线段的长度是解答此题的关键．