Question

13．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足$\sqrt{m-6}$+（n-12）²=0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，-2），点P为射线AB上一点，且∠CEP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质求出A、B两点坐标，再利用待定系数法切线直线AB解析式即可解决问题．
（2）画出图象，求出直线CD解析式即可解决问题．
（3）如图2中，取点F（-2，8），作直线EF交直线AB于P，只要证明∠PEC=45°，求出直线PE解析式，利用方程组求交点坐标即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m-6}$+（n-12）²=0，
∴m=6，n=12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-2x+12，
∵直线AB点C（a，a），
∴a=-2a+12，
∴a=4，
∴点C坐标（4，4）．

（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，

设直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b′，边点C（4，4）代入得到b′=2，
∴直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴点D坐标（-4，0）．

（3）如图2中，取点F（-2，8），作直线EF交直线AB于P，

∵直线EC解析式为y=$\frac{3}{2}$x-2，直线CF解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
∵$\frac{3}{2}$×（-$\frac{2}{3}$）=-1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC=2$\sqrt{13}$，CF=2$\sqrt{13}$，
∴EC=CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∵直线FE解析式为y=-5x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=-5x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{14}{3}}\\{y=\frac{64}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（-$\frac{14}{3}$，$\frac{64}{3}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰直角三角形的性质、两条直线垂直k的乘积为-1等知识，解题的关键是构造等腰直角三角形解决问题，属于中考压轴题．