Question

在直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），直线l：y=-x+4，在第一象限有一动点P（x，y）在直线l上，直线l与x轴、y轴分别交于点B、C，设△OPA的面积为S．
（1）分别求出B、C的坐标；
（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若在坐标系中有一点Q（a，2），且△QAC的面积与△OBC的面积相等，求a的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，则x=4，令x=0，则y=4，即可求得B、C的坐标；
（2）根据三角形的面积公式和P的坐标即可表示出关于x的函数解析式；
（3）△QAC的面积等于三角形CQG与四边形OBQG的面积的和减去三角形OAC的面积，根据△QAC的面积与△OBC的面积相等，即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可求得．

解答：解：（1）令y=0，则0=-x+4，得：x=4，
∴B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴C（0，4），

（2）∵S=

1

2

OA•y，
∴S=

1

2

×3y，
∵点P（x，y）在直线l上，
∴S=

3

2

（-x+4）=-

3

2

x+6，
即S=-

3

2

x+6，（0＜x＜4）；

（3）如图，∵Q（a，2），
∴过Q点作x轴的平行线交y轴的交点G（0，2），
∵S_△OBC=

1

2

OB•OC=

1

2

×4×4=8，S_△CQG=

1

2

GQ•GC=

1

2

a×2=a，S_{四边形OAQG}=

1

2

（OA+GQ）•OG=

1

2

（a+3）×2=a+3，S_△OAC=

1

2

OA•OC=

1

2

×3×4=6，
又∵△QAC的面积与△OBC的面积相等，
∴S_△CQG+S_{四边形OAQG}-S_△OAC=8，
即a+a+3-6=8，解得：a=

11

2

．

点评：本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，直线上的点的特点，三角形的面积，以及分割法求三角形的面积的方法等，（3））△QAC的面积等于三角形CQG与四边形OBQG的面积的和减去三角形OAC的面积是本题的关键．