Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．

（1）求证：AC=AD；
（2）点G为线段CD延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．
①若β=α，GD=2AD，如图2所示，求证：S_△DEG=2S_△BCD；
②若β=2α，GD=kAD，请直接写出

S△DEG

S△BCD

的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC=AD即可；
（2）①利用已知得出∠GDE=∠BDC=90°-α，进而得出∠DEG=∠AHB=90°，则△DEG∽△AHB，进而利用相似三角形的性质得出答案；
②利用①得出∠AHB=∠DFG=90°，进而利用角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质得出即可．

解答：（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AC=AD．

（2）①证明：过A作AH⊥BC于点H．
由题意可得：∠AHB=90°．
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α．
∴∠BAC=180°-2α．
由（1）得AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC．
∴∠GDE=∠BDC=90°-α，
∵∠G=β=α=∠ABC，
∴∠G+∠GDE=90°．
∴∠DEG=∠AHB=90°．
∴△DEG∽△AHB．
∵GD=2AD，AB=AD，
∴

S△DEG

S△ABH

=

DG2

AB2

=4．
∵AD∥BC，
∴S_△BCD=S_△ABC=2S_△ABH．
∴S_△DEG=2S_△BCD；

②如图3，

S△DEG

S△BCD

=k²．
理由：过A作AH⊥BC于点H，作∠DGE的平 分线GF，
∵由①得，∠DGF+∠GDE=90°，
∵∠AHB=∠DFG=90°．
又∵∠ABC=∠DGF=α，
∴△DFG∽△AHB．
又∵AB=AD，
∴

S△DFG

S△AHB

=

GD2

AB2

=

GD2

AD2

=k²．
∵∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2CH，
∴S_△ABC=2S_△AHB．
∵∠DGF=∠EGF，GF⊥DE，
∴DE=2DF=2EF，
∴S_△DEG=2S_△DFG，
∴

S△DEG

S△ABC

=

2S△DFG

2S△AHB

=k²．
又∵S_△ABC=S_△BCD，
∴

S△DEG

S△BCD

=k²．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，得出△ABH∽△DGF是解题关键．