Question

学完第2章“特殊的三角形”后，老师布置了一道思考题：已知正△ABC，点M、N分别在BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
（1）试求出图1中∠BQM的度数；
（2）若将题中的点M、N改为在正△ABC的边BC，CA的延长线上（如图2），且BM=CN，若∠QBM=90°，正△ABC的边长为1，试求出BQ的长．

Answer 1

解：（1）∵正△ABC，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN，
∴∠BQM=60°，

（2）∵正△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠QBM=90°，
∴∠1=∠3=30°，
∵正△ABC，
∴BA=CB，∠ABM=∠BCN，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠QBM=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴AQ=BQ，
∵正△ABC的边长为1，
∴AQ²+1=BQ²，
∴BQ²=，
∴BQ=．
分析：（1）由题意可知∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，再由BM=CN，根据全等三角形的判定定理“SAS”，即可推出△ABM≌△BCN，推出∠CBN=∠BAM后，然后根据外角的性质即可推出∠BQM=∠BAM+∠ABN，即∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；
（2）由题意可知∠1=∠3=30°，BA=CB，∠ABM=∠BCN，结合BM=CN，根据全等三角形的判定定理“SAS”，推出△ABM≌△BCN，即可得∠BAM=∠QBM=90°，即∠BAQ=90°，然后根据直角三角形中特殊角的三角函数即可推出AQ=BQ，再根据勾股定理，即可推出BQ的长度．
点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，勾股定理，关键在于熟练正确的运用相关的性质定理，求证相关三角形全等．