Question

19．如图，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动．设运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t的值为1或$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意分三种情况考虑：当∠A=90°；当∠B=90°；当∠APB=90°，根据△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可．

解答 解：分三种情况考虑：
当∠A=90°，即△ABP为直角三角形时，
∵∠BOC＞∠A，且∠BOC=60°，
∴∠A≠90°，故此情况不存在；
当∠B=90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：

∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，
∵OP=2t，
∴t=1；
当∠APB=90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，

∴OD=OP•cos∠BOC=t，PD=OP•sin∠BOC=$\sqrt{3}$t，
∴AD=AO+OD=2+t，BD=OB-OD=1-t，即AB=3，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP²+BP²=AB²，即（2+t）²+（$\sqrt{3}$t）²+（$\sqrt{3}$t）²+（1-t）²=3²，
解得：t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$（负值舍去），
综上，当t=1或t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$时，△ABP是直角三角形．
故答案为：1或$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$

点评 此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．