Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆的中点，连接AC，CD是弦．若AB=10，tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，CA=CE，连接OE，则OE的长为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 连接AE，作EM⊥AD，EF⊥BD，ON⊥BD垂足为M，F，N，EK⊥ON垂足为K，由AC弧=BC弧，AB是直径，得出∠CAO=∠ADC=CDB=45°，∠DAE=∠EAO，从而证得E是三角形的内心，求得EF=2，ON=3，KN=2，EK=2，求得EK=1，根据勾股定理即可求得OE的长．

解答 解：连接AE，作EM⊥AD，EF⊥BD，ON⊥BD垂足为M，F，N，EK⊥ON垂足为K，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
∵∠CEA=∠DAE+∠EDA，
∴∠CAO+∠OAE=∠DAE+∠ADE，
∵AC弧=BC弧，AB是直径，
∴∠CAO=∠ADC=CDB=45°，
∴∠DAE=∠EAO，
∴E是三角形的内心，
∵tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，∠ACD=∠ABD，
∴tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，
∵AB=10，
∴AD=6，BD=8，
∴内切圆的半径EF=2，
易知ON=3，KN=2，EK=2，
∴OK=1，
在RT△OEK中OE=$\sqrt{O{K}^{2}+E{K}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故选A．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的内切圆的判定和性质，解直角三角形等，证得E是三角形ABD的内心是解题的关键．