Question

15．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE与⊙O相切．
（2）若BE=3$\sqrt{5}$，且sin∠ABC=$\frac{2}{3}$，求OA的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．
（2）根据等角的余角相等，得到$\frac{OB}{OE}$=sin∠OEB=sin∠ABC=$\frac{2}{3}$，由勾股定理求得OB，根据同圆的半径相等，得到OA 的值．

解答 （1）证明：连结OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OC=OD，OD⊥BC，
∴OD是△BOC的角平分线，
即∠BOE=∠COF，
又∵OE=OF，
∴△BOE≌△COE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴BE与⊙O相切，
（2）解：由（1）得∠OBE=90°
∴∠OEB+∠BOE=90°，
∵OD⊥BC∴∠ABC+∠BOE=90°，
∴∠OEB=∠ABC，
sin∠OEB=sin∠ABC=$\frac{OB}{OE}$═$\frac{2}{3}$，
设OB=2k，OE=3k，则有（3k）²=（2k）²${+（3\sqrt{5）}}^{2}$
∴k=$\sqrt{3}$，
∴OA=OB=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，三角函数，勾股定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，