Question

如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连接DF，DE，EF．过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D、E、F在一条直线上的情况）．
（1）填空：当t=________时，AF=CE，此时BH=________；
（2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；
（3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S，△DEF的周长为C．
①求S关于t的函数关系式；
②直接写出C的最小值．

Answer 1

解：（1）∵BC=AD=9，BE=4，
∴CE=9-4=5
∵AF=CE
即：3t=5，
∴t=，
∵EH∥DF
∴△DAF∽△EBH，
∴=
即：=
解得：BH=；

当t=时，AF=CE，此时BH=；

（2）由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，
又∵∠A=∠CBH=90°
∴△EBH∽△DAF，
∴ 即=
∴BH=
当点F在点B的左边时，
即t＜4时，BF=12-3t
此时，当△BEF∽△BHE时： 即4²=（12-3t）×
解得：t₁=2
此时，当△BEF∽△BEH时：有BF=BH，即12-3t=
解得：t₂=
当点F在点B的右边时，即t＞4时，BF=3t-12
此时，当△BEF∽△BHE时： 即4²=（3t-12）×
解得：t₃=2+2

（3）①∵EH∥DF
∴△DFE的面积=△DFH的面积=FH•AD=（12-3t+t）×9=54-
②直接写出C的最小值=13+．
分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
点评：此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．