Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，作EG⊥DC于G，则下列结论中：①EA=EG；②∠BAD=∠C；③△AEF为等腰三角形；④AF=FD．其中正确结论的个数为

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：根据角平分线性质推出EG=AE，根据三角形内角和定理和角的计算求出∠ABC+∠BAD=90°，∠C+∠ABC=90°，推出∠C=∠BAD，根据三角形外角性质得出∠AFE=∠AEF，推出AE=AF，过F作FM⊥AB于M，根据角平分线性质得出FM=FD，根据斜边大于直角边即可推出AF＞FD（FM）．
解答：∵BE平分∠ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AE=EG，∴①正确；
∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAD，∴②正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠C=∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠C+∠CBE，
即∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，∴③正确；
过F作FM⊥AB于M，
∵BE平分∠ABC，AD⊥BC，
∴FM=FD，
在Rt△AMF中，∠AMF=90°，斜边AF大于直角边FM，
∴AF＞FD，∴④错误；、
即正确的个数是3个．
故选C．
点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．