Question

如图，在△ABC中，AB=AC，射线AM∥BC，点P从点A出发沿射线AM运动，同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接PQ、AQ、PC，当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是平行四边形；
（2）若BC=6cm，点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s，填空：
①当t为______s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
②当t为______s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是直角梯形．

Answer 1

（1）证明：∵D为AC中点，
∴AD=CD，
∵AM∥BC，
∴∠PAC=∠ACB，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴PD=DQ，
又∵AD=CD，
∴四边形AQCP是平行四边形；

（2）①当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
由题意得：t=6-4t，
解得：t=1.2，
当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
由题意得：t=4t-6，
解得：t=2，
故答案为：1.2或2；

②（I）若CP⊥AM，则AP=3，BQ=4×3=12，点Q在C的右边，不是直角梯形．
（II）若AQ⊥BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴Q为BC中点，即BQ=3，
∴此时的时间为3÷4=0.75（s）；
故答案为：0.75．
分析：（1）证明△ADP≌△CDQ（ASA）可得PD=DQ，又AD=CD，故四边形AQCP是平行四边形；
（2）①要分两种情况：当Q在线段BC上，AP=QC时；当Q在C的右边时，AP=QC时，粉笔根据题意算出t；
②分情况讨论：（I）若CP⊥AM，则AP=3，BQ=4×3=12，点Q在C的右边，不是直角梯形．（II）若AQ⊥BC，Q为BC中点，即BQ=3，进而得到答案．
点评：此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键．