Question

3．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点M是该半圆的中点，在弧AM上有一动点B（不与A，M重合），连接OB，AB，并延长AB到点D，使DB=AB，过点D作x轴的垂线，分别交x轴，直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．

（1）若点A的坐标为（10，0）且∠ADE=30°时，求弧AB的长；
（2）若DE=9，EF=4，求⊙C的半径：
（3）如图2，点A为定点，能否找到这样的点B，使△CDF为等腰三角形，若能，请用尺规作图的方法在图2中准确的画出点B，若不能．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图1，利用圆周角定理得∠ABO=90°，再利用等角的余角相等得到∠AOB=∠ADE=30°，则根据圆周角定理得到∠ACB=2∠AOB=60°，然后根据弧长公式计算即可；
（2）连接AF，如图1，先利用OB垂直平分AD得到FA=FD=5，再利用勾股定理得到AE=3，AD=3$\sqrt{10}$，则AB=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，接着证明Rt△ADE∽Rt△AOB，然后利用相似比计算出OA即可得到⊙C的半径：
（3）如图，作AC的垂直平分线交AC于E，以点A为圆心，AC为半径画弧交AC的垂直平分线于D，连接AD交⊙C于B，可证明FA=FD，而FC=FA，所以FD=FC．

解答 解：（1）连接OB，如图1，
∵OA为直径，
∴∠ABO=90°，
∵∠DFB=∠OFE，
∴∠AOB=∠ADE=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∵点A的坐标为（10，0），
∴CA=5，
∴弧AB的长=$\frac{60•π•5}{180}$=$\frac{5}{3}$π；
（2）连接AF，如图1，
∵DE=9，EF=4，
∴DF=5，
∵AB=BD，FB⊥AD，
∴FA=FD=5，
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵∠ADE=∠AOB，
∴Rt△ADE∽Rt△AOB，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{3\sqrt{10}}{AO}$=$\frac{3}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$，解得OA=15，
∴⊙C的半径为$\frac{15}{2}$：
（3）如图，作AC的垂直平分线交AC于E，以点A为圆心，AC为半径画弧交AC的垂直平分线于D，连接AD交⊙C于B．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理，记住弧长公式，会运用勾股定理和相似比进行几何计算；会利用基本作图的方法进行几何作图．