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    如图，正方形AOBC的边长为4，反比例函数y=
    k
    x
    经过正方形AOBC的中心D点，E为AO边上任一点，F为OB延长线上一点，AE=BF，EF交AB于点G．
    （1）求反比例函数的解析式；
    （2）判断CG与EF之间的数量和位置关系；
    （3）P是y=
    k
    x
    第三象限上一动点，直线l：y=-x+2与y轴交于M点，过P作PN∥y轴交直线l于N．是否存在一点P，使得四边形OPNM为等腰梯形？若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．
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    分析：（1）正方形AOBC的边长为4，则正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2），把这点的坐标代入反比例函数y=
    k
    x
    的解析式，就可以求出函数解析式；
    （2）连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，可以得到△CAE≌△CBF，因而可以证出△EHG≌△FBG，得到EG=FG则CG⊥EF，CG=
    1
    2
    EF；
    （3）要让四边形OPNM为等腰梯形，必须有∠PNM=∠NPO=45°，则P点的横纵坐标相等，因而设P点的坐标为（x，x），代入y=
    4
    x
    ，得到x的值，从而求出点P的坐标．
    解答：解：（1）∵正方形的中心是它的两对角线的交点，
    又∵正方形AOBC的边长为4，
    ∴正方形AOBC的中心D点的坐标为（2，2）．
    ∵D点在反比例函数y=
    k
    x
    的图象上，
    ∴k=2×2=4，
    ∴y=
    4
    x
    ；

    （2）CG⊥EF，CG=
    1
    2
    EF．（5分）
    证明：连接CE、CF，作EH∥BF交AB于H点，
    ∵CA=CB，∠CAE=∠CBF，AE=BF，
    ∴△CAE≌△CBF，
    ∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
    ∴∠ECF=90°．
    ∵AE=EH=BF，∠EGH=∠BGF，∠HEG=∠BFG，
    ∴△EHG≌△FBG，（7分）
    ∴EG=FG．
    ∴CG⊥EF，CG=
    1
    2
    EF；
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    （3）过点M作ME⊥PN于E，
    ∴EM∥x轴，
    设N坐标为（a，-a+2），
    ∴EM=-a，NE=-a+2-2=-a，
    ∴ME=NE，
    ∴∠PNM=45°，（9分）
    ∵四边形OPNM为等腰梯形，
    ∴∠PNM=∠NPO=45°．（10分）
    ∴设P点的坐标为（x，x），代入y=
    4
    x
    ，
    ∴x=±2．
    ∵P是y=
    k
    x
    第三象限上一动点，
    ∴x=-2．
    ∴P点的坐标为（-2，-2）．
    点评：本题考查了反比例函数的图象画法和它的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
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    		2
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    （1）求反比例函数的解析式；
    （2）判断CG与EF之间的数量和位置关系；
    （3）P是数学公式第三象限上一动点，直线l：y=-x+2与y轴交于M点，过P作PN∥y轴交直线l于N．是否存在一点P，使得四边形OPNM为等腰梯形？若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．

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