Question

10．已知在二次函数y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{11}{3}$中，自变量x的取值范围和函数值y的取值范围相同，即a≤x≤b且a≤y≤b，求a，b的值．

Answer 1

分析 根据y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{11}{3}$=$\frac{1}{3}（x+1）^{2}-4$，可得当x=-1时，函数有最小值-4，又a≤x≤b且a≤y≤b，所以a=-4且抛物线经过点（b，b）或a=-4时，b=-1，代入二次函数y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{11}{3}$中，即可求得b的值．

解答 解：∵y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{11}{3}$=$\frac{1}{3}（x+1）^{2}-4$，
∴当x=-1时，函数有最小值-4，
∵a≤x≤b且a≤y≤b，
∴a=-4且抛物线经过点（b，b）或a=-4时，b=-1，
∴b=$\frac{1}{3}{b}^{2}+\frac{2}{3}b-\frac{11}{3}$，
整理得：b²-b-11=0，
解得：${b}_{1}=\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$，${b}_{2}=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$（不符合题意，舍去），
∴b=$\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$．
综上所述，a=-4，b=-1或a=-4，b=$\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的函数值的取值范围的求解，先求出对称轴再确定函数值的取值范围是解题的关键．