Question

1．如图，双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′点落在OA上，求四边形OABC的面积．

Answer 1

分析 设BC的延长线与x轴相交于点D，设点D的横坐标为a，表示出CD，根据翻折变换的性质可得CB=CB′，∠AB′C=∠B=90°，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=CB′，再表示出BD，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的横坐标，从而求出AB，再根据S_{四边形OABC}=S_梯形OABD-S_△OCD列式计算即可得解．

解答 解：如图，连接OC．
设BC的延长线与x轴相交于点D，设点D的横坐标为a，
∵点C在双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，
∴CD=$\frac{2}{a}$，
由翻折的性质得，CB=CB′，∠AB′C=∠B=90°，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴BD⊥x轴，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，
∴BD=2CD=$\frac{4}{a}$，
∵点A在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{4}{a}$，
解得x=$\frac{a}{2}$，
∴AB=a-$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$，
∴S_{四边形OABC}=S_梯形OABD-S_△OCD
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{a}{2}$+a）×$\frac{4}{a}$-$\frac{1}{2}$a•$\frac{2}{a}$=3-1
=2．

点评 本题考查了翻折变换的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，求面积时设出未知数并能够消掉未知数是解题的关键．