Question

【题目】已知：如图，平面直角坐标系中，，，点C是x轴上一点，点D为OC的中点．

（1）求证：BD∥AC；

（2）若点C在x轴正半轴上，且BD与AC的距离等于2，求点C的坐标；

（3）如果于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BD∥AC；（2）；（3）

【解析】

（1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；

（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；

（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出AC解析式．

（1），，

，，点B为线段OA的中点，

点D为OC的中点，即BD为的中位线，

；

（2）如图1，作于点F，取AB的中点G，则，

，BD与AC的距离等于2，

，

在中，，，点G为AB的中点，

，

是等边三角形，.

，

设，则，

根据勾股定理得：，

，

，

点C在x轴的正半轴上，

点C的坐标为；

（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，，

，

点D为OC的中点，

，

，

，

，

点C在x轴的正半轴上，

点C的坐标为，

设直线AC的解析式为.

将，得

，

解得：.

直线AC的解析式为.