Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA₁和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B₁C的长度为多少时，△FCB₁与△B₁DG全等．

Answer 1

解：（1）全等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，
∴∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A₁DE=∠CDF，
在△EDA₁和△FDC中，
，
∴△EDA₁≌△FDC（ASA）；

（2）△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁与△B₁DG相似，
设FC=x，
则B₁F=BF=3-x，B₁C=DC=1，
∴x²+1²=（3-x）²，
∴x=，
∴△FCB₁与△B₁DG相似，相似比为4：3．

（3）△FCB₁与△B₁DG全等．
设B₁C=a，则有FC=B₁D=2-a，B₁F=BF=1+a，
在直角△FCB₁中，可得（1+a）²=（2-a）²+a²，
整理得a²-6a+3=0，
解得：a=3-（另一解舍去），
∴当B₁C=3-时，△FCB₁与△B₁DG全等．
分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折叠的性质可得：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A₁DE=∠CDF，则可利用ASA证得△EDA₁和△FDC全等；
（2）易得△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁与△B₁DG相似，然后设FC=x，由勾股定理可得方程x²+1²=（3-x）²，解此方程即可求得答案；
（3）设B₁C=a，则有FC=B₁D=2-a，B₁F=BF=1+a，在直角△FCB₁中，可得（1+a）²=（2-a）²+a²，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．