Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D；
（1）求证：AP=AC；
（2）若AC=3，求PC的长．

Answer 1

（1）证明：连接AO，则AO⊥PA，∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOP=60°，
∴∠P=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACP=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC．

（2）解：在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=3，
∴AO=，
∴PO=2；
∵CO=OA=，
∴PC=PO+OC=3．
分析：（1）连接OA，可得∠AOC=120°，所以，可得∠P=∠C=30°，即可证明；
（2）AC=3，所以，PO=，所以PC=3．
点评：本题主要考查了直角三角形、圆周角及切线的性质定理，综合性比较强，熟记定理及性质，才是解答的关键．