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    等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

    （2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

    （3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

    【解析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF=60°，主要再证得PE=PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现；

    （2）根据△ABC的面积-△BEP的面积-△CFP的面积=四边形AEPF面积求解

    （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP=x，则CP=6-x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可

     

    【答案】

    （1）△EPF为等边三角形.     --------------4分

    （2）设BP=x，则CP＝6－x.

         由题意可 △BEP的面积为.△CFP的面积为.

    △ABC的面积为.

    设四边形AEPF的面积为y.

     ∴ =.

    自变量x的取值范围为3＜x＜6. --------------8分

    （3）可证△EBP∽△PCF.

    ∴ .[来源:学*科*网Z*X*X*K]

    设BP=x，

    则 . 解得 .

    ∴ PE的长为4或.    --------------12分

     

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    （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
    （2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；
    （3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

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    14、如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．
    求证：△AMN的周长等于2．

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    精英家教网如图，等边△ABC边长为10cm，以AB为直径的⊙O分别交CA、CB于D、E两点，则图中阴影部分的面积（结果保留π）是
     
    cm2．

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    等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．
    （1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．

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