Question

已知：二次函数y=x²-2（m-1）x-1-m的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x₁＜0＜x₂，
∴AO=-x₁，OB=x₂，
又∵a=1＞0，
∴CO=m+1＞0，
∴m＞-1，
∵，
∴CO（OB-AO）=2AO•OB，
即（m+1）（x₁+x₂）=-2x₁x₂
∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-（1+m），
∴（m+1）•2（m-1）=2（1+m），
解得，m=-1（舍去），m=2．
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3．

（2）存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积，
设点P的横坐标为x_P，点Q的横坐标为x_Q，直线与y轴交于点E
∵S_△PCE=S_△QCE，CE•|x_P|=CE•|x_Q|，
∴|x_P|=|x_Q|，
∵y轴平分△CPQ的面积，
∴点P、Q在y轴异侧，
即x_P=-x_Q，
由，
得x²-（k+2）x-（b+3）=0（1）x_P，x_Q为（1）的两根，
∴x_P+x_Q=k+2=0，
∴k=-2，
又∵直线与抛物线有两个交点，
∴b+3＞0，即b＞-3，
∴当k=-2且b＞-3时直线y=kx+b与抛物线交于点P，Q使y轴平分△CPQ的面积．
分析：（1）本题要先化简题中给出的OA，OB，OC的比例关系式，然后根据韦达定理用m替换掉经过化简的比例关系式中OA，OB的值，而OC=1+m，因此可得出一个关于m的方程，即可求出m的值，也就能求出抛物线的解析式．
（2）如果存在这样的直线，那么被y轴平分的△CPQ中，两个小三角形应该同底，面积相等，因此等高．即P，Q两点的横坐标互为相反数．联立直线的解析式和（1）的抛物线的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，那么根据两个互为相反数可得出k的值．
而这两个函数的交点有两个，因此方程的△＞0，根据这两个条件即可的k，b应满足的条件．
点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理的应用等知识点．