Question

1．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D为AB的中点，BE⊥BC，BE=AD，AE分别交CD于F，交BC于K．若DF=1，则KC的长为$\frac{3\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 要求KC的长，需要作出合适的辅助线，根据题目中的条件，我们可以的得到△AMK和△EBK的关系，从而可以得到BK与MK的关系，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半和三角形相似的知识，可求得CD的长，DK、CK与BK的关系，然后根据勾股定理可以解答本题．

解答 解：作AM⊥BC于点M，连接DK，作BN∥DF，
∵AM⊥BC，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠AMB=90°，∠ABM=∠ACM=30°，点M为BC的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}AB$，
又∵D为AB的中点，BE⊥BC，BE=AD，
∴∠EBK=90°，AD=$\frac{1}{2}AB$=BE，
∴AM=BE，
∵∠BKE=∠MKA，
∴△BEK≌△MAK（AAS），
∴BK=MK，
∴BK=$\frac{1}{3}$KC，点K为BM的中点，
∴DK∥AM，∠DKB=∠AMB=90°，
∵点D为AB的中点，DF∥BN，DF=1，
∴BN=2DF=2，△CFK∽△BNK，
∴$\frac{CF}{BN}=\frac{KC}{KB}$，
即$\frac{CF}{2}=\frac{KC}{\frac{1}{3}KC}$，得CF=6，
∵DF=1，
∴DC=7，
设BK=a，则KC=3a，
∵∠DKB=90°，∠DBK=30°，BK=a，
∴DK=BK•tan30°=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，
∵∠DKC=90°，
∴CD²=DK²+KC²，
即${7}^{2}=（\frac{\sqrt{3}a}{3}）^{2}+（3a）^{2}$，
解得，a=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴3a=$\frac{3\sqrt{21}}{2}$，
即KC=$\frac{3\sqrt{21}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查相似相综合题，解题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，作出所求问题需要的条件，利用三角形全等、三角形相似和勾股定理的相关知识进行解答．