Question

20．已知△ABC，AD是∠BAC的平分线．
（1）如图1，求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$；
（2）如图2，DE∥AC交AB于点E，AB=10，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）过B作BE∥AC，交AD的延长线交于E．由AD平分∠BAC，BE∥AC，得到∠1=∠3，AB=BE．则有△BDE∽△CDA，得到BE：AC=BD：DC，等线段代换即可得到AB：AC=BD：DC；
（2）由DE∥AC得△BDE∽BCA，则BD：BC=DE：AC，代入AC=6即可求出DE的长．

解答 解：（1）过B作BE∥AC，交AD的延长线交于E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
又∵BE∥AC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3，
∴AB=BE．
又∵BE∥AC，
∴△BDE∽△CDA，
∴BE：AC=BD：DC，
∴AB：AC=BD：DC；
（2）∵DE∥AC，
∴△BDE∽BCA，
∴BD：BC=DE：AC，
∵AB=10，AC=6，
∴AB：AC=BD：DC=5：3，
∴BD：BC=5：8，
∴DE：6=5：8，
∴DE=$\frac{15}{4}$；

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，合理添加辅助线是解决问题的关键．