Question

13．如图，直线l：y=-x+b（b＞0，且b为常数）与双曲线c₁：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D点，连接OA、OB，过点B、点A分别作x轴、y轴的垂线，交坐标轴于E、F两点，两垂线的交点为G，双曲线c₂：y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点G，其中点A的坐标为A（x₁，y₁）．则下列结论：
①点B的坐标为B（y₁，x₁）；
②图中全等的三角形共有3对；
③若AB=$\sqrt{2}$，则OF-AF=1；
④四边形GAOB的面积为k-1；
⑤若∠AOB=45°，则S_△AOB=1．
其中正确的结论是①③④⑤（只填序号）

Answer 1

分析 先根据对称性直接得出①正确，②错误，再根据等腰直角三角形的性质计算得出③正确，利用双曲线的性质直接求出四边形GAOB的面积，得出④正确，最后再判断出△AOF≌△AOH，△BOH≌△BOE即可得出⑤正确．

解答 解：如图，连接OG，
根据题意，图象关于直线y=x成轴对称，
∵y=-x+b与坐标轴交于C，D，
∴C（0，b），D（b，0），且∠ACO=∠CDO=45°，
由对称性得，OE=OF，AF=BE，
A（x₁，y₁）．
∴（y₁，x₁）；
所以①正确；
由对称性得，△COB≌△DOA，△AFC≌△BED，△AFO≌△BEO，△AOC≌△BOD，
所以②错误；
当AB=$\sqrt{2}$时，AG=1，
∴OF-AF=FG-AF=AG=1，
所以③正确；
∴S_{四边形GAOB}=S_{四边形OEGF}-S_△AFO-S_△BOE=k-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=k-1，
所以④正确；
如图，连接OG，

∵∠AOB=45°，
∴∠AOF=∠AOH=22.5°，
在△AOF和△AOH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠AOH}\\{∠AFO=∠AHO}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△AOH，
同理：△BOH≌△BOE，
∴S_△AOB=2S_△AOH=1，
所以⑤正确；
故答案为：①③④⑤．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质和判定，反比例函数中k的几何意义，反比例函数图形上的一点和坐标轴围成的矩形的面积，本题中对称性的应用是解本题的关键．