Question

13．如图，C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，且AB=8cm，弧$\widehat{CD}$的度数为60°，线段AC，AD与弧CD围成了图中的阴影部分．
（1）当CD∥AB时，图中阴影部分的面积为$\frac{8}{3}$πcm²；
（2）当C，D在半圆上运动时，阴影部分的最大面积为$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OD，根据已知条件可得∠COD=60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可；
（2）利用图形可得出当C，D有一个点与A或B重合时此时阴影部分面积最大，进而求出即可．

解答 解：（1）如图1，连接OC、OD．
∵弧$\widehat{CD}$的度数为60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，CD=OC=$\frac{1}{2}$AB=8cm．
∵CD∥AB，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S_阴影=S_扇形OCD=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π（cm²）；
故答案是：$\frac{8}{3}$π 

（2）如图2，当C，D有一个点与A或B重合时此时阴影部分面积最大，

连接CO，过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB=8，∴AO=CO=4，
∵$\widehat{CD}$的度数为60°，
∴∠CAD=30°，∠COE=60°，
∴EO=2，则EC=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的最大面积为：$\frac{1}{2}$AO×EC+S_扇形COB=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$+$\frac{8π}{3}$．
故答案是：$\frac{8}{3}$π+4$\sqrt{3}$

点评 本题考查了扇形面积的计算，判断出△OCD与△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解是解题关键．