Question

18．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则tan∠CGD=2．

Answer 1

分析 证明△ABF≌△DAE，得∠AED=∠BFA，证出AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，证明MH是三角形ADG的中位线，证出CH垂直平分DG，证出∠CGD=∠AED，即可得出tan∠CGD=tan∠AED．

解答 解：如图所示：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分别为AB、BC边的中点，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠BAD=90°}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点H，连接CH，
∵H是AD的中点，CH∥AF，
设CH与DG相交于点M，则MH是三角形ADG的中位线，
∴DM=GM，
∴CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
设正方形的边长为2a，则AE=a，tan∠CGD=tan∠AED=$\frac{2a}{a}$=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；本题有一定难度，需要通过作辅助线才能得出结果．