Question

如图：⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=X，BC=Y，求Y与X的函数关系式，并画出它的大致图象．

Answer 1

解：过D作DF⊥CB，交CB于点F，
∵DA与DC都为圆O的切线，
∴DA=DE，
又CB与CE都为圆O的切线，
∴CB=CE，
又∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DA=FB，DF=AB，
在直角三角形CDF中，
∵AD=x，BC=y，AB=12，
∴CD=CE+ED=DA+CB=x+y，DF=AB=12，CF=CB-FB=y-x，
根据勾股定理得：CD²=DF²+CF²，
即（x+y）²=12²+（y-x）²，
化简得：xy=36，即y=（x＞0）；
在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示．
分析：过D作DF垂直于CB，根据切线的性质及垂直定义得到∠ADF，∠DAB，∠DFB为直角，可得四边形ABFD为矩形，根据矩形的对边相等可得DF=AB，AD=BF，又DA与DE为圆O的切线，根据切线长定理得到DA=DE，同理得到CE=CB，可得CD=CE+DE=AD+CB，表示出CD，CF=CB-FB=CB-AD，表示出CF，再由DF=AB，由AB的长得出DF的长，在直角三角形CDF中，根据勾股定理列出关于x与y的关系式，整理后可得出y与x的反比例关系式，同时根据x表示线段长，可得x大于0，即反比例为第一象限的部分，画出图象即可．
点评：此题考查了切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的图象与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握切线长定理是解本题的关键，同时注意辅助线的做法．