Question

如图，⊙A与x轴交B（2，0）、C（4，0）点，OA=3，P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是

1. A.
   3
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：连接AP，由B和C的坐标，得出OB及OC的值，根据OC-OB=BC求出BC的长，即为圆A的直径，可得出圆A的半径，进而由OA=OB+AB可得出OA的长，设P的坐标为（0，y），表示出OP=|y|，在直角三角形OAP中，根据勾股定理表示出AP²，由DP为圆A的切线，根据切线的性质得到AD与DP垂直，可得三角形APD为直角三角形，由AD及表示出的AP²，利用勾股定理表示出PD的长，根据完全平方式最小值为0，可得出当y=0时，PD达到最小值，即可求出此时PD的长．
解答：解：如图，连接AP．
∵B（2，0）、C（4，0），
∴OB=2，OC=4，
∴BC=OC-OB=4-2=2，即圆A的直径为2．
又∵DP为圆A的切线，
∴AD⊥DP，
∴∠ADP=90°，
设P（0，y），
在Rt△AOP中，OA=3，OP=|y|，
根据勾股定理得：AP²=OA²+OP²=9+y²，
在Rt△APD中，AD=1，
根据勾股定理得：PD²=AP²-AD²=9+y²-1=y²+8，
则PD=，
则当y=0时，PD达到最小值，最小值是=2．
故选C．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，以及点的坐标，利用了转化的思想，解题的关键是连接出辅助线AP，构造直角三角形，利用勾股定理及切线的性质来解决问题．